PLATONISME DALAM FILSAFAT MATEMATIKA

Pendahuluan

Platonisme tentang matematika (atau Platonisme Matematika) adalah pandangan metafisik tentang adanya benda abstrak matematika yang keberadaannya independen dari kita dan bahasa, pola pikir, dan praktik. Sama halnya elektron dan planet-planet keberadaannya independen dari kita, begitu juga angka dan himpunan. Dan seperti pernyataan-pernyataan tentang elektron-elektron dan planet-planet yang dibuat benar atau salah oleh benda-benda terkait dan sifat benda-benda obyektif ini sempurna, begitu juga pernyataan tentang angka dan himpunan. Kebenaran matematika itu kemudian ditemukan, bukan diciptakan.

Argumen yang paling penting tentang keberadaan benda-benda abstrak mate-matika berasal dari Gottlob Frege dan hilang begitu saja (Frege 1953). Bahasa matematika dimaksudkan untuk mengacu dan menghitung banyaknya benda-benda abstrak matematis. Dan sejumlah teorema matematika adalah benar. Tetapi kalimat tidak dapat dinyatakan benar, kecuali jika sub-ekspresi berhasil melakukan apa yang mereka maksudkan untuk dilakukan. Jadi terdapat obyek abstrak matematika yang ungkapan ini mengacu dan menghitung banyaknya benda-benda abstrak matematis.

Termasuk Argumen Frege, beberapa filsuf telah mengembangkan berbagai keberatan terhadap Platonisme matematika. Dengan demikian, obyek abstrak matematika yang diklaim menjadi epistemologis dan secara metafisis bermasalah/ meragukan. Platonisme Matematika menjadi topik perdebatan yang paling hangat dalam filsafat matematika selama beberapa dekade terakhir.

Makalah ini membahas mengenai:

1. Apakah Platonisme Matematika?

1.1 Sejarah Komentar

1.2 Signifikan filosofi Platonisme matematika

1.3 Anti nominalisme

1.4 Nilai Kebenaran realisme

1.5 Pentingnya Platonisme matematika

2. Argumen Fregean tentang keberadaan

2.1 Struktur Argumen

2.2 Pertahanan Semantik Klasikal

2.3 Pertahanan Kebenaran

2.4 Gagasan Komitmen Ontologis

3. Keberadaan dalam Platonisme Matematika

3.1 Keabstrakan

3.2 Keindependenan

4. Keberatan untuk Platonisme Matematika

4.1 Akses Epistemologi

4.2 Keberatan Metafisikal

4.3 Keberatan Metafisikal yang lain

1. Apakah Platonisme Matematika?

Platonisme Matematika dapat didefinisikan sebagai gabungan dari tiga tesis/pernyataan berikut:

Keberadaan : Adanya benda-benda matematis.

Keabstrakan : Objek matematika yang abstrak.

Independen : Objek matematika adalah independen dari tingkat kecerdasan dan bahasa, pola pikir, dan praktik.

Platonisme pada umumnya (sebagai lawan Platonisme tentang matematika khusus) adalah suatu pandangan yang muncul dari ketiga tesis/pernyataan di atas dengan mengganti kata sifat 'matematika' oleh kata sifat lainnya. Dua hal pertama dari klaim di atas cukup jelas untuk tujuan ini. Keberadaan yang dinotasikan oleh '∃xMx' dengan 'Mx' sebagai predikat dan 'x adalah obyek matematika' yang semuanya benar dan hanya objek yang dipelajari oleh matematika murni, seperti angka, himpunan, dan fungsi. Keabstrakan mengatakan bahwa setiap objek matematika adalah abstrak, di mana suatu obyek dikatakan abstrak hanya dalam kasus non-spatiotemporal.

Keindependenan kurang jelas dari dua klaim lainnya. Apa artinya anggapan ini semacam independen kepada suatu objek? Yang mungkin paling jelas adalah kontrafakta bersyarat obyek matematis yang telah ada sebelum adanya tingkat kecerdasan, atau memiliki bahasa, pemikiran, atau praktik berbeda. Hal ini diragukan bahwa dalam melakukan pekerjaan, independe seharusnya dilakukan. Pada kesempatan ini, independen akan agak ditinggalkan sebagai skematis.

1.1 Ulasan Sejarah

Platonisme harus dibedakan dari pandangan Plato sejarah. Beberapa pihak dalam perdebatan kontemporer tentang Platonisme membuat klaim penafsiran yang kuat tentang pandangan Plato. Meskipun pandangan yang kita sebut 'Platonisme' ter-inspirasi oleh teori terkenal Plato tentang bentuk-bentuk abstrak dan kekal, Platonisme sekarang didefinisikan dan diperdebatkan secara independen dari inspirasi asli sejarah.

Tidak hanya Platonisme yang menjadi pembahasan Plato, Platonisme seperti yang dicirikan di atas adalah pandangan murni metafisik: ia harus dibedakan dari pandangan lain yang memiliki kandungan epistemologis substantif. Banyak karakterisasi yang lebih tua tentang Platonisme yang menambah kuat klaim epistemologis untuk menyatakan bahwa kita memiliki beberapa pegangan langsung, atau wawasan, alam benda abstrak. Tetapi itu berguna untuk 'Platonisme' sebagai pandangan murni metafisik yang dijelaskan di atas. Banyak filsuf yang membela Platonisme dalam pengertian metafisik murni akan menolak klaim tambahan epistemologis. Contohnya termasuk filsuf Quine dan pengikutnya menyebut argumen indispensabilitas (yang seharusnya ada), yang dimaksudkan untuk memberikan pembelaan empiris yang luas pada Platonisme matematika.

Akhirnya, definisi 'Platonisme matematika' di atas tidak termasuk klaim bahwa semua kebenaran matematika murni diperlukan, walaupun pernyataan ini secara tradisional telah dibuat oleh kebanyakan Platonis. Sekali lagi, pengecualian ini di-benarkan oleh kenyataan bahwa beberapa filsuf yang umumnya dianggap sebagai Platonis (misalnya, Quine dan beberapa penganut argumen indispensabilitas tersebut) menolak bentuk klaim tambahan.

1.2 Signifikansi Filosofis Platonisme Matematika

Platonisme Matematika memiliki arti filosofis yang dapat dipertimbangkan. Jika itu benar, itu akan memberikan tekanan besar pada gagasan fisikalis bahwa realitas akan habis oleh fisik. Platonisme mensyaratkan realitas yang meluas jauh melampaui dunia fisik dan termasuk benda-benda yang bukan merupakan bagian dari sebab akibat dan urutan spatiotemporal yang dipelajari oleh ilmu-ilmu fisik. Platonisme Matematika, jika benar, juga akan memberikan tekanan besar pada teori naturalistik suatu pengetahuan. Ada sedikit keraguan bahwa kita memiliki pengetahuan matematika. Oleh karena itu, Platonisme Matematika menetapkan bahwa kita memiliki pengetahuan tentang objek-objek abstrak. Ini akan menjadi penemuan penting, banyak teori naturalistik dari pengetahuan akan berusaha untuk mengakomodasinya.

Meskipun konsekuensi filosofis tidak tunggal bagi Platonisme Matematika, ini bentuk khusus dari Platonisme yang luar biasa cocok untuk mendukung kon-sekuensi tersebut. Matematika merupakan disiplin ilmu yang berhasil, baik dalam matematika itu sendiri maupun sebagai alat untuk ilmu-ilmu lainnya. Beberapa filsuf analitik kontemporer bersedia untuk menentang salah satu klaim inti dari disiplin yang kredensial ilmiah sekuat yang terdapat di matematika (Lewis, 1991, hlm 57-9). Jadi, jika analisis filosofis menunjukkan matematika memiliki beberapa konsekuensi yang aneh dan mengejutkan, itu akan tidak hanya menarik untuk menolak matematika. Suatu bentuk Platonisme berdasarkan disiplin kredensial ilmiah yang kurang mengesankan dibandingkan matematika tidak akan berada dalam situasi beruntung. Sebagai contoh, jika teologi ternyata memiliki beberapa konsekuensi filosofis aneh dan mengejutkan, banyak filsuf tidak akan ragu untuk menolak bagian yang relevan pada teologi.

1.3. Anti-nominalisme

Dalam filsafat kontemporer, nominalisme biasanya didefinisikan sebagai pandangan bahwa tidak ada benda abstrak. (Dalam kebanyakan filosofis tradisional, penggunaan kata 'nominalisme' merujuk bukan untuk pandangan bahwa tidak ada universal. Lihat Burgess. & Rosen 1977, hlm 13-25 dan entri pada objek abstrak.). Anti-nominalisme adalah lawan dari nominalisme, yaitu klaim tentang adanya benda-benda abstrak. Anti-nomilisme tentang matematika yang demikian hanya menghubungkan keberadaan dan keabstrakan. Karena anti-nominalisme melepaskan keindependenan, maka secara logika lebih lemah dari Platonisme matematika.

Konsekuensi filosofis anti-nominalisme tidak sekuat Platonisme. Banyak filsuf akan menerima benda-benda non-fisik asalkan tergantung atau direduksi menjadi benda-benda fisik. Mereka mungkin menerima objek seperti misalnya perusahaan, hukum, dan puisi, asalkan bahwa ini adalah sesuai tergantung atau direduksi menjadi benda-benda fisik. Selain itu, tampaknya tidak ada misteri tentang akses epistemis ke benda-benda non-fisik yang kita miliki tentang bagaimana membuat atau 'membentuk'. Jika perusahaan, hukum, dan puisi yang dibuat atau 'dibentuk' oleh kami, kiranya kita mendapatkan pengetahuan dari mereka dalam proses pembuatan atau 'pembentukan' tersebut.

Beberapa pandangan dalam filsafat matematika adalah anti-nominalis tanpa menjadi Platonis. Salah satu contoh adalah pandangan intuisionis tradisional, yang menegaskan keberadaan benda-benda matematis tetapi mempertahankan bahwa benda-benda tergantung pada atau dibentuk oleh matematikawan dan kegiatan mereka.

1.4. Nilai Kebenaran Realisme

Nilai kebenaran realisme adalah pandangan bahwa setiap pernyataan matematika yang disusun dengan baik memiliki kebenaran yang unik dan nilainya yang tidak tergantung pada apakah itu dapat diketahui oleh kita dan apakah logis berdasar teori-teori matematika saat ini. Pandangan ini juga menyatakan bahwa kebanyakan pernyataan matematika yang dianggap benar adalah sebenarnya benar. Jadi, nilai kebenaran realisme jelas pandangan metafisik. Tetapi tidak seperti Platonisme, itu bukan merupakan pandangan ontologis. Karena meskipun klaim nilai kebenaran realisme bahwa kebenaran pernyataan matematika yang unik dan nilai kebenaran yang objektif, tidak berkomitmen untuk berciri khas pada Platonis bahwa aliran kebenaran-nilai dari obyek ontologi matematika.

Matematika Platonisme jelas memotivasi nilai kebenaran realisme dengan memberikan penjelasan tentang bagaimana pernyataan matematika mendapatkan kebenaran nilai-nilai mereka. Tetapi lebih lanjut, premis akan diperlukan untuk pembentukan pandangan berikutnya. Karena jika ada benda matematis, ketidakpastian referensial dan perhitungan dapat menghilangkan nilai kebenaran pernyataan matematika yang unik dan obyektif. Sebaliknya, nilai kebenaran realisme tidak dengan sendirinya memerlukan Keberadaan dan berimplikasi bahwa bukan anti-nominalisme maupun Platonisme. Karena ada berbagai akun tentang bagaimana pernyataan matematika dapat memiliki kebenaran yang unik dan nilai kebenaran objektif yang tidak menempatkan sebuah objek matematika yang real.

Faktanya, banyak nominalis mendukung nilai kebenaran realisme, setidaknya kebanyakan cabang dasar tentang matematika, seperti aritmatika. Nominalis jenis ini berkomitmen pada pandangan yang terdengar agak aneh, meskipun pernyataan matematis biasa.

(1) Ada bilangan prima antara 10 dan 20

Adalah benar, sebenarnya tidak benda matematis dan secara khusus tidak ada bilangan. Tetapi ada kontradiksi di sini. Kita harus membedakan antara bahasa LM yang dibuat oleh matematikawan dan bahasa LP yang dibuat oleh nominalis dan filsuf lainnya. Pernyataan (1) dibuat dalam LM. Namun pernyataan nominalis bahwa (1) adalah benar, tetapi bahwa tidak ada benda abstrak yang dibuat di LP. Pernyataan nominalis disajikan secara sempurna bahwa (1) diterjemahkan non-homophonis dari LM ke LP. Dan memang, ketika klaim nominalis bahwa nilai kebenaran kalimat dari LM adalah tetap tanpa pendekatan objek matematika, ini justru semacam terjemahan non-homoponik dalam pikiran. Pandangan dijelaskan pada catatan sebelumnya memberikan contoh.

Hal ini menunjukkan bahwa klaim “keberadaan” memiliki efek yang diinginkan, maka harus dinyatakan dalam bahasa LP yang digunakan oleh filsuf. Jika klaim itu terungkap dalam bahasa LM yang digunakan oleh ahli matematika, maka nominalis bisa menerima klaim tersebut saat masih menyangkal bahwa ada benda matematis, bertentangan dengan tujuan klaim.

Sebuah tradisi kecil tetapi penting dimana filsuf mendesak agar perdebatan tentang Platonisme harus diganti atau paling tidak berubah menjadi perdebatan tentang nilai kebenaran realisme. Salah satu alasan yang mendukung pandangan ini adalah bahwa perdebatan sebelumnya tanpa harapan jelas, sedangkan yang selanjutnya lebih penurut (Dummett 1978a, pp. 228-232 dan Dummett 1991b, hlm 10-15). Alasan lain yang ditawarkan adalah bahwa perdebatan tentang nilai ke-benaran realisme adalah lebih penting bagi filsafat dan matematika dibandingkan tentang Platonisme.

1.5 Pentingnya Matematis Platonisme

Bekerja realisme adalah pandangan metodologis bahwa matematika harus dipraktekkan seolah-olah Platonisme telah benar (Bernays 1935, Shapiro 1997, hal 21-27 dan 38-44). Hal ini memerlukan penjelasan. Dalam perdebatan tentang dasar-dasar matematika Platonisme telah sering digunakan untuk membela metode matematis tertentu, seperti berikut ini.

Bahasa klasikal (atau lebih kuat) yang tunggal syarat dan bilangan tampaknya mengacu dan berkisar pada banyaknya benda-benda matematis. (Hal ini kontras dengan bahasa yang mendominasi sebelumnya dalam sejarah matematika, yang mengandalkan lebih banyak pada konstruktif dan bentuk kosakata).

Klasikal berbeda dengan logika intuitionistik.

Metode non-konstruktif (seperti bukti adanya non-konstruktif) dan aksioma non-konstruktif (seperti aksioma pilihan). Definisi Impredikatif (yaitu, definisi yang menghitung lebih dari satu totalitas objek yang didefinisikan sebagai anggotanya). 'Optimisme Hilbertian' yaitu keyakinan bahwa setiap masalah matematika pada prinsipnya dapat dipecahkan.

Menurut bekerja realisme, ini dan metode klasikal lain dapat diterima dan tersedia di semua penalaran matematika. Tetapi bekerja realisme tidak menyimpulkan apakah metode ini memerlukan pertahanan filosofis, dan jika demikian, apakah pertahanan ini harus didasarkan pada Platonisme. Singkatnya, di mana Platonisme adalah pandangan filosofis secara eksplisit, bekerja realisme adalah sebuah pan-dangan pertama dan utama dalam matematika itu sendiri tentang metodologi yang benar dari disiplin ilmu ini. Platonisme dan bekerja realisme adalah pandangan yang berbeda.

Apakah ada hubungan logis antara dua pandangan? Mengingat asal dari bekerja realisme, tidak mengherankan bahwa pandangan ini menerima dukungan yang kuat dari Platonisme matematika. Asumsikan bahwa Platonisme matematika adalah benar. Kemudian jelas bahasa matematika seharusnya seperti yang dijelaskan dalam (i). Kedua, asalkan sah untuk alasan klasikal tentang setiap bagian independen dari realitas yang ada, (ii) juga akan mengikuti. Ketiga, karena Platonisme memastikan bahwa matematika itu ditemukan bukan diciptakan, maka tidak akan ada kebutuhan bagi matematikawan untuk membatasi diri pada metode konstruktif dan aksioma, yang menetapkan (iii). Keempat, ada argumen yang kuat dan berpengaruh karena Godel (1944) bahwa definisi impredikatif adalah sah apabila ada objek yang didefinisikan secara independen dari definisi kita. (Misalnya, muncul 'anak tertinggi di' kelas' bermasalah meskipun impredikatif). Jika ini benar, maka (iv) akan mengikuti. Akhirnya, jika matematika adalah tentang keberadaa beberapa realitas yang independen, maka setiap masalah matematika memiliki jawaban yang unik dan menentukan, yang menyediakan setidaknya beberapa motivasi untuk optimisme Hilbertian.

Oleh karena itu, Kebenaran Platonisme Matematika akan memiliki konsekuensi penting dalam matematika itu sendiri. Ini akan membenarkan metode klasik yang terkait dengan bekerja realisme dan mendorong pencarian aksioma baru untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan (seperti Hipotesis Continuum) yang dibiar-kan terbuka oleh teori matematika kita saat ini.

Namun, bekerja realisme tidak menyiratkan dalam cara Platonisme yang jelas. Meskipun bekerja realisme mengatakan bahwa kita dibenarkan dalam menggunakan bahasa platonistik dalam matematika kontemporer, membagi Platonisme setidaknya dalam dua cara. Seperti uraian di atas nilai kebenaran realisme menunjukkan, bahasa platonistik matematika dapat dianalisis sedemikian rupa untuk menghindari referensi dan kuantifikasi atas benda matematis. Selain itu, bahkan jika analisa nilai wajah bahasa matematika bisa dibenarkan, apa yang anti-nominalisme akan mengikuti, bukan Platonisme. Sebuah argumen tambahan akan diperlukan untuk komponen ketiga dari Platonisme, yaitu, independen.

2. Argumen Fregean tentang Keberadaan

Berikut ini adalah sebuah template dari sebuah argumen tentang keberadaan benda-benda matematis. Sejak filsuf pertama yang mengembangkan sebuah argumen dari bentuk umum Frege, maka disebut sebagai argumen fregean. Tetapi template bersifat umum dan abstrak jauh dari aspek-aspek Fregean itu sendiri yang sebagian besar tentang keberadaan obyek matematika, seperti pandangannya bahwa aritmetika ini diturunkan ke logika. Logisisme Fregean adalah salah satu cara di mana template ini dapat dikembangkan; beberapa cara lain akan disebutkan di bawah ini.

2.1 Struktur Argumen

Argumen fregean didasarkan pada dua premis, yang pertama menyangkut semantik bahasa matematika:

Semantik klasikal.

Istilah tunggal dari bahasa matematika dimaksudkan untuk merujuk ke objek matematika, dan urutan bilangan pertamanya dimaksudkan untuk kisaran atas benda tersebut.

Kata "pemaknaan" perlu dijelaskan. Ketika sebuah kalimat S dimaksudkan untuk merujuk atau mengukur dengan cara tertentu, ini berarti bahwa agar S bernilai benar, S harus berhasil dengan mengacu atau mengukur dengan cara ini. Premis kedua tidak memerlukan banyak penjelasan:

Kebenaran Kebanyakan kalimat yang diterima sebagai teorema matematika adalah benar (terlepas dari struktur sintaksis dan semantik).

Pertimbangan kalimat yang diterima sebagai teorema matematika dan yang mengandung satu atau lebih istilah matematika tunggal. Dengan kebenaran, kebanyakan dari kalimat ini adalah benar. Biarlah S menjadi satu kalimat tersebut. Dengan semantik klasik, kebenaran S memerlukan kerangka tunggal yang berhasil dengan mengacu pada obyek matematika. Oleh karena itu harus ada obyek matematika, seperti yang dituntut oleh keberadaan.

2.2 Mempertahankan Semantik Klasikal

Semantik klasikal mengklaim bahwa redaksi bahasa pada fungsi matematika sama seperti bahasa dalam fungsinya umum (atau setidaknya secara tradisional telah dianggap fungsi): Istilah tunggal dan pembilang dari fungsi semantik adalah, masing-masing, untuk menyebut benda dan untuk rentang suatu objek. Ini adalah klaim empiris yang luas mengenai kerja bahasa semi-formal yang digunakan oleh masyarakat matematikawan profesional. (Diadopsi secara luas dalam terminologi Burgess & Rosen 1997, hal 6-7, Semantik klasikal adalah klaim hermeneutik, yang merupakan pernyataan deskriptif tentang bagaimana bahasa tertentu sebenarnya digunakan, bukan klaim normatif tentang bagaimana bahasa ini seharusnya digunakan). Perhatikan juga bahwa semantik klasikal lebih kompatibel dengan kebanyakan pandangan tradisional yang semantik, pada khususnya, itu adalah kompatibel dengan semua pandangan standar pada makna kalimat, yang merupakan nilai kebenaran, proposisi, atau himpunan dari kemungkinan dunia.

Semantik klasikal sangat masuk akal. Untuk bahasa matematika secara kuat, tampaknya memiliki struktur semantik yang sama seperti bahasa non-matematika biasa. Seperti Burgess (1999) mengamati, dua kalimat berikut ini tampaknya memiliki struktur semantik yang sama sederhananya dari sebuah predikat yang berasal dari subjek (p.288).

(4) Kesebelasan adalah formal.

(5) Sebelas adalah bilangan prima.

Pandangan ini juga dibuktikan oleh analisis semantik standar yang diusulkan oleh ahli bahasa dan para ahli semantik. Namun demikian, Semantik klasikal telah ditantang, misalnya oleh nominalists seperti Hellman (1989) dan oleh Hofweber (2005). Ini bukan tempat untuk diskusi dengan memperpanjang tantangan tersebut. Saya hanya mencatat bahwa banyak pekerjaan yang diperlukan untuk memperkuat tantangan semacam ini. Penantang harus menyatakan bahwa kesamaan semantik yang jelas antara bahasa matematika dan non-matematika adalah menipu. Dan argumen ini harus bersumber ahli bahasa dan semantikis-tanpa kepentingan dalam filsafat matematika-muncul untuk mengenali sebagai signifikan.

2.3 Mempertahankan Kebenaran

Kebenaran dapat dipertahankan dalam berbagai cara berbeda. Umum untuk semua pertahanan adalah bahwa mereka pertama mengidentifikasi beberapa standar nilai kebenaran pernyataan matematika yang dapat dinilai dan kemudian berpendapat bahwa teorema matematika memenuhi standar ini.

Salah satu pilihan adalah untuk menarik suatu standar yang lebih mendasar dari-pada matematika itu sendiri. Logisisme memberikan contoh. Frege dan pengikut logisisme lainnya mengklaim bahwa teorema pertama dari logika murni adalah benar. Lalu mereka berusaha untuk menunjukkan bahwa teorema cabang matematika tertentu bisa dibuktikan dari logika murni dan definisi sendiri.

Pilihan lain adalah untuk menarik standar ilmu pengetahuan empiris. Argumen indispensabilitas Quine-Putnam memberikan contoh. Pertama dikatakan bahwa setiap bagian tak terpisahkan dari ilmu pengetahuan empiris mungkin sesuatu yang benar dan oleh karena itu kita meyakini bahwa itu benar. Kemudian, ber-pendapat bahwa sebagian besar matematika sangat diperlukan bagi ilmu penge-tahuan empiris. Jika kedua klaim adalah benar, maka berikut adalah kebenaran yang mungkin benar dan bahwa kepercayaan dalam kebenaran yang kemudian dibenarkan.

Pilihan ketiga adalah untuk menarik standar matematika sendiri. Mengapa harus menarik standar non matematis, seperti logika atau ilmu pengetahuan empiris, dalam rangka membela kebenaran teorema matematika? Ketika kita membela kebenaran klaim logika dan fisika, kita tidak perlu untuk menarik masing-masing standar di luar logika dan fisika. Sebaliknya kita menganggap bahwa logika dan fisika menyediakan standar mereka sendiri sebagai pembenaran. Mengapa matematika harus berbeda? Strategi ketiga telah menerima banyak perhatian dalam beberapa tahun terakhir, sering diberi nama 'naturalisme' atau 'naturalisme matematika'.

Berikut adalah contoh bagaimana strategi naturalistik dapat dikembangkan.

Mengingat sikap bahwa matematikawan dibawa ke teorema 'penerimaan' mate-matika. Kemudian klaim berikut tampak masuk akal: Matematikawan dibenarkan dalam menerima teorema matematika. Menerima pernyataan matematika S meng-akibatkan S menjadi benar. Ketika matematikawan menerima pernyataan mate-matis S, maksud dari tindakan ini adalah secara umum arti literal dari S.

Dari ketiga klaim itu, para ahli matematika dibenarkan untuk mengambil teorema matematika berdasar pada kebenaran literal. Dengan pengecualian bahwa juga di-benarkan untuk mempercayai kebenaran. Perhatikan bahwa para ahli yang ber-sangkutan tidak perlu percaya diri dan apalagi telah dibenarkan pada keyakinan tersebut. Yang penting adalah bahwa tiga klaim adalah benar. Tugas menetapkan kebenaran diserahkan kepada ahli bahasa, psikolog, sosiolog, atau filsuf, tetapi tentunya tidak untuk matematika sendiri.

2.4 Gagasan Komitmen Ontologis

Versi argumen fregean kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk pengertian dari komitmen ontologis. Asumsikan kita beroperasi dengan kriteria standar Quinean dari komitmen ontologis:

Kriteria Quine

Sebuah kalimat (atau kumpulan kalimat tersebut) adalah ontologis berkomitmen pada objek-objek, seperti diasumsikan berada pada kisaran dari variabel-variabel kalimat (atau kumpulan kalimat) untuk bernilai benar.

Kemudian berikut dari klasikal semantik bahwa banyak kalimat matematika yang secara ontologis berkomitmen pada benda-benda matematis. Untuk melihat ini, mempertimbangkan tipe teorema matematis S, yang melibatkan beberapa kejadian ekstensional normal baik istilah tunggal atau bilangan orde pertama. Dengan klasikal semantik, ungkapan ini dimaksudkan untuk mengacu pada kisaran benda matematis. Agar S bernilai benar, ungkapan-ungkapan ini harus berhasil melaku-kan apa yang mereka dimaksudkan untuk lakukan. Akibatnya, agar S benar, harus ada objek matematika di kisaran variabel. Dengan Kriteria Quine ini berarti S secara ontologis berkomitmen pada benda-benda matematis.

Quine dan banyak yang lain menggunakan Kriteria Quine untuk mendefinisikan 'komitmen ontologis' (Quine 1969 dan Burgess 2004). Namun kriteria tersebut tetap ditantang. Beberapa filsuf menyangkal bahwa istilah tunggal dan bilangan orde pertama secara otomatis memunculkan komitmen ontologis. Mungkin yang “dibutuhkan dari dunia" agar kalimat bernilai benar melibatkan adanya beberapa tetapi tidak semua objek dalam kisaran perhitungan (Rayo 2008). Atau mungkin kita harus memutuskan hubungan antara perhitungan eksistensial orde pertama dan pengertian tentang komitmen ontologis (Azzouni 2004 dan Hofweber 2000).

Satu tanggapan terhadap tantangan ini adalah untuk mengamati bahwa argumen Fregean dikembangkan tanpa menggunakan istilah „komitmen ontologis'. Setiap tantangan dengan definisi 'komitmen ontologis' yang disediakan oleh Kriteria Quine, kemudian muncul tidakrelevanan dengan versi dari argumen Fregean yang dikembangkan di atas. Namun, tanggapan ini tidak mungkin untuk memuaskan penantang, yang akan menjawab bahwa kesimpulan dari argumen yang dikem-bangkan di atas terlalu lemah untuk mempengaruhi apa yang dimaksudkan. Ingat bahwa kesimpulan keberadaan telah disahkan dalam bahasa meta philosohikal LP sebagai '∃xMx'. Jadi formalisasi ini akan gagal mempengaruhi yang dimaksudkan kecuali kalimat bahasa meta semacam itu membuat komitmen ontologis. Tetapi itu justru menjadi sengketa penantang. Kontroversi ini tidak dapat mengerucutkan lebih lanjut di sini. Untuk saat ini, mengamati bahwa penantang perlu menyedia-kan akun mengapa gagasan non standar yang berkomitmen ontologis lebih baik dan secara teoritis lebih menarik daripada gagasan Quinean standar.

3. Keberadaan dalam Platonisme Matematika

Ingat bahwa Platonisme matematika adalah hasil dari penambahan keberadaan terhadap dua klaim lain, yaitu keabstrakan dan independen.

Keabstrakan Dengan standar filsafat, keabstrakan relatif tidak kontroversial. Di antara beberapa filsuf telah menantang itu adalah Maddy (1990) (tentang himpunan tidak murni) dan Bigelow (1988) (tentang suatu himpunan berbagai jenis angka). Kurang relatifnya dari kontroversi berarti bahwa pertahanan beberapa eksplisit keabstrak-an telah dikembangkan. Tetapi tidak sulit untuk melihat bagaimana pertahanan tersebut mungkin menghilang. Berikut ini adalah satu ide. Ini adalah kendala yang masuk akal pada setiap interpretasi filosofis praktek matematika yang harus menghindari penjelasan ke semua fitur matematika yang akan membuat praktek matematika menjadi sesat atau tidak memadai. Kendala ini membuat sulit untuk menyangkal bahwa obyek matematika murni adalah abstrak. Karena jika ketiga-nya berada pada spatiotemporal, kemudian praktek matematika yang sebenarnya akan sesat dan tidak memadai, karena itu matematika murni harus menaruh per-hatian pada lokasi obyek mereka, seperti fisikawan tertarik pada lokasi mereka. Fakta bahwa matematikawan murni tidak tertarik dalam pertanyaan ini menunjuk-kan bahwa benda mereka abstrak.

1.2 Keindependenan

Keindependenan menyatakan bahwa objek matematika, jika ada, adalah indepanden dari tingkat kecerdasan, bahasa, pola pikir, dan praktik. Klaim ini relatif diterima dengan perhatian secara eksplisit pada beberapa dekade terakhir (di antara perngecualian ahli filsafat intuitionis dan pembelajaran konstruktivis, seperti Dumment). Klaim ini tampaknya telah secara diam-diam diterima oleh kebanyakan ahli filsafat analitik, bukan karena mereka berpindah argumen, tetapi lebih disebabkan karena mereka tidak memahami apa yang membuat klaim itu gagal. Objek fisik yang biasa menyediakan suatu model baik untuk apa suatu obyek tersebut independen dari kita dan aktivitas kita. Tetapi belum jelas apa yang membuat objek tersebut tidak independen. Bagaimanapun, suatu kegagalan untuk melihat suatu alternatif dengan jelas terhadap suatu pandangan bukanlah suatu pertahanan dari pandangan.

Salah satu strategi adalah mencari rute dari bekerja realisme ke independen. Asumsikan bahwa metodologi matematika klasik dibenarkan. Mungkinkah penjelasan terbaik dari kenyataan ini adalah independen itu benar? Salah satu argumen seperti disarankan oleh Godel, yang mengklaim bahwa legitimasi definisi impredikatif yang terbaik dijelaskan oleh kebenaran dari beberapa bentuk Platonisme, termasuk klaim independen. Namun, meskipun secara luas disepakati bahwa independen akan mendukung legitimasi definisi impredikatif, itu tetap menjadi pertanyaan terbuka apakah implikasi sebaliknya dapat dipertahankan.

Pilihan lain adalah untuk melanjutkan dari teori himpunan metodologi kontem-porer untuk independen (Godel 1964). Sebagian besar mencari aksioma baru dalam teori himpunan saat ini didasarkan pada apa yang disebut "pertimbangan ekstrinsik", dimana aksioma calon dinilai tidak hanya untuk masuk akal intrinsik mereka tetapi juga untuk kapasitas mereka dalam menjelaskan dan sistematisasi fakta-fakta matematika lebih mendasar. Mungkin metodologi ini bisa digunakan untuk memotivasi independen. Namun, hal itu tetap menjadi pertanyaan terbuka apakah saran ini dapat dikembangkan menjadi argumen yang meyakinkan.

4. Keberatan untuk Platonisme Matematika

Berbagai keberatan terhadap Platonisme matematika telah dikembangkan. Berikut adalah yang paling penting.

4.1 Akses Epistemologis

Keberatan yang mungkin paling berpengaruh terinspirasi oleh Benacerraf (1973). Apakah mengikuti versi perbaikan atas keberatan benacerraf's karena lapangan (1989). Versi ini bertumpu pada tiga premis berikut.

Premis 1. Keterandalan matematikawan, dalam arti bahwa hampir setiap kalimat matematika S, jika matematikawan menerima S, maka S adalah benar.

Premis 2. Kepercayaan matematika dibenarkan, pada prinsipnya setidaknya harus memungkinkan untuk menjelaskan keandalan, yang dijelaskan dalam Premis 1.

Premis 3. Jika Platonisme matematika benar, maka keandalan ini tidak bisa dijelaskan bahkan secara prinsipnya.

Jika tiga premis itu benar, maka Platonisme matematika memotong pembenaran kita untuk percaya dalam matematika.

Tetapi apakah premis-premis tersebut benar? Dua permis yang pertama tidak kontroversial. Kebanyakan Platonis sudah berkomitmen pada Premis 1. Premis 2 tampaknya cukup aman. Jika keandalan dari beberapa prosedur pembentukan keyakinan tidak bisa bahkan pada prinsipnya harus dijelaskan, maka prosedur ini akan tampak murni bekerja secara kebetulan, sehingga meremehkan apapun pembenaran yang kita miliki pada keyakinan yang dihasilkan dengan cara ini.

Premis 3 lebih kontroversial. Pembelaan premis ini dengan mengamati bahwa "nilai kebenaran dari pernyataan matematika bergantung pada fakta-fakta yang melibatkan entitas platonis yang berada di luar wilayah ruang-waktu" (Field 1989, hal.68) dan dengan demikian kausal terisolasi dari kami bahkan dalam prinsip. Namun, pertahanan ini mengasumsikan bahwa penjelasan yang memadai dari keandalan dalam pertanyaan harus melibatkan beberapa hubungan kausal. Ini telah ditentang oleh berbagai filsuf yang telah mengajukan penjelasan lebih minim dari klaim keandalan.

4.2 Keberatan Metafisika

Artikel terkenal yang lain oleh Benacerraf dengan mengembangkan keberatan metafisik untuk Platonisme matematika (Benacerraf 1965, Kitcher 1978). Meskipun Benacerraf berfokus pada aritmatika, keberatan secara alami diperumum pada objek matematika yang paling murni.

Benacerraf terbuka dengan membela apa yang sekarang dikenal sebagai pandangan strukturalis dari bilangan asli, sesuai dengan bilangan asli yang tidak memiliki sifat lain selain sifat urutan-W. Sebagai contoh, tidak ada yang lebih besar dari bilangan 3 yang memiliki sifat-sifat intrastruktur relasional tertentu yang didefinisikan, seperti menggantikan 2, menjadi setengah dari 6, dan bilangan prima. Tidak peduli seberapa keras kita mempelajari aritmetika dan teori himpunan, kita tidak akan pernah tahu apakah 3 identik dengan ordinal von Neumann keempat, atau dengan ordinal Zermelo yang sesuai, atau mungkin, seperti Frege yang menyarankan, dengan kelas dari semua kelas angka-tiga (dalam beberapa sistem yang memungkinkan kelas tersebut ada).

Benacerraf kini menggambarkan kesimpulan berikut:

Oleh karena itu, angka bukan merupakan objek, karena dalam memberikan sifat ... bilangan hanya mencirikan struktur abstrak- dan perbedaan terletak pada kenyataan bahwa "elemen" dari struktur tidak memiliki sifat selain yang mengaitkan mereka dengan "elemen" lain pada struktur yang sama. (Benacerraf 1965, hal 291).

Dengan kata lain, Benacerraf mengklaim bahwa tidak ada benda yang tidak ada, tetapi bersifat struktural. Semua objek harus memiliki beberapa sifat non-struktural juga (lihat Benacerraff 1996 untuk beberapa renungan nanti argumen ini).

Kedua langkah dari argumen Benacerraf adalah kontroversial. Langkah pertama, bilangan asli memiliki sifat hanya struktur baru ini yang telah dipertahankan oleh berbagai strukturalis matematika (Parsons 1990, Resnik 1997, dan Shapiro 1997). Tetapi langkah ini ditolak oleh para logisisme dan non-logisisme, yang meng-klaim bahwa bilangan asli secara intrinsik terkait dengan kardinalitas dari koleksi bilangan tersebut. Dan langkah kedua, tidak ada benda dengan sifat-sifat struktural yang hanya secara eksplisit ditolak oleh semua strukturalis yang mem-bela langkah pertama.

4.3 Keberatan Metafisik Lainnya

Selain Benacerraf, berbagai keberatan metafisik untuk Platonisme matematika telah dikembangkan. Salah satu contoh yang lebih terkenal adalah argumen dari Nelson Goodman menentang teori himpunan. Goodman (1956) membela prinsip nominalisme, yang menyatakan bahwa setiap kali dua entitas yang memiliki unsur dasar yang sama, mereka adalah identik. Prinsip ini dapat dianggap sebagai penguatan teoritis terhadap aksioma himpuan yang terkenal. Aksioma tersebut menyatakan bahwa jika x dan y memiliki unsur-unsur yang sama yaitu, jika u (u ∈ x ↔ u ∈ y) maka mereka adalah identik. Prinsip nominalisme diperoleh dengan mengganti hubungan keanggotaan secara transitif. Pada Prinsipnya menyatakan bahwa jika x dan y dihasilkan oleh ∈ * individu yang sama yaitu, jika u (u ∈* x ↔ u ∈* y ) maka x dan y adalah identik. Dengan mendukung prinsip ini, Goodman melarang pembentukan himpunan dan kelas, hanya memungkinkan pembentukan jumlah mereologi dan aplikasi untuk operasi mereologi standar (seperti yang dijelaskan oleh-nya dalam "calculus of individuals")

Namun, pertahanan Goodman terhadap prinsip nominalisme sekarang secara luas dianggap tidak meyakinkan, seperti yang disaksikan dalam penerimaan secara luas oleh para filsuf dan matematikawan pada teori himpunan sebagai cabang yang sah dan berharga matematika.[]

 

Sumber: http://ferischa14.blogspot.com/2013/01/platonisme-dalam-filsafat-matematika_15.html