MENGAPA 1 + 1 = 2 ?

Tulisan ini diambil dari intisari empat pertemuan pertama kuliah Pengantar Analisis Real yang diampu oleh Prof. Dr. Hendra Gunawan, sekitar 10 tahun yang lalu di ITB. Tentunya sesuai dengan daya tangkap dan pemahaman penulis. Adapun yang menjadi buku pegangan kuliah tersebut adalah “Introduction to Real Analysis” karya seorang matematikawan bernama belakang Bartle. Informasi yang ada di dalam tulisan ini bisa didapatkan di kuliah Pengantar Analisis Real di universitas manapun. Penulis hanya berbagi pengetahuan dan mencoba menjelaskan dalam bahasa yang sederhana.

Kita semua tentu telah mengetahui bahwa 1 + 1 = 2. Bahwa jika ada ruangan kosong, lalu datang satu orang ke ruangan tersebut, kemudian datang lagi satu orang ke dalam ruangan tersebut, maka sekarang ada 2 orang di ruangan tersebut. Matematikawan pun telah mengetahui itu, hanya saja mereka menginginkan hal itu tetap berlaku selamanya. Untuk itu, para matematikawan membuat beberapa aturan supaya 1 + 1 selalu sama dengan 2. Aturan pertama adalah, “Kita hanya akan berbicara tentang himpunan bilanga real.”.

Seperti apakah himpunan bilangan real? Himpunan bilangan real adalah sebuah lapangan (dalam bahasa inggris disebut “field”), himpunan yang memiliki 11 sifat. Anda dapat membaca kesebelas sifat tersebut di akhir tulisan ini. Sayangnya, dari kesebelas sifat tersebut, kita belum bisa memutuskan berapakah 1 + 1? Kalaupun ternyata 1 + 1 = 0, tak ada satupun dari ke-11 sifat lapangan yang disalahi. 

Untuk itu, selanjutnya dimasukkanlah ketentuan bahwa di dalam himpunan bilangan real terdapat urutan (order), dengan ketentuan sebagai berikut :
(i). Terdapat himpunan bagian bilangan real yang disebut himpunan bilangan positif (dilambangkan dengan P) di mana a anggota P jika dan hanya jika 0 < a.
(ii). Jika a anggota P, maka b <= c mengakibatkan b + a <= c + a untuk bilangan real b dan c manapun.
(iii). 1 adalah anggota P.

Apa yang kita dapatkan dari ketentuan urutan ini?

Karena 1 anggota P (menurut (iii) ), maka (menurut (i) ) 0 < 1.
Dari ketentuan (ii) kita mendapatkan bahwa 0 < 1 dan 1 anggota P menyebabkan 0 + 1 < 1 + 1. Yaitu 1 < 1 + 1.
Karena 0 < 1 < 1 + 1, maka 1 + 1 tak boleh 0 juga tak boleh 1. Oleh sebab itu, kita memerlukan lambang baru untuk 1 + 1. Dan kita (manusia) memilih sebuah lambang 2 sebagai 1 + 1.

Dengan alasan yang sama 2 < 2 + 1, dan kita menggunakan lambang 3 untuk 2 + 1, dan seterusnya. Sehingga kita memiliki semua bilangan bulat positif {1, 2, 3, 4, …} di dalam himpunan bilangan real. Sifat ke-6 dari lapangan mengatakan bahwa setiap bilangan real memiliki ‘lawan’ (sesuatu yang dijumlahkan dengannya menjadi 0). Untuk 1, kita memiliki -1, untuk 2 kita memiliki -2, dan selanjutnya. Sehingga kita memiliki semua bilangan bulat { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} di dalam himpunan bilangan real.

Sifat ke-11 dari lapangan mengatakan bahwa setiap bilangan real tak nol memiliki kebalikan (sesuatu yang dikalikan dengannya menjadi 1). Untuk 2, kita memiliki 1/2, untuk 3 kita memiliki 1/3, dan seterusnya. Dari sifat lapangan yang ke-2, bilangan bulat m dikali dengan balikan dari bilangan bulat n (yaitu 1/n) adalah bilangan real juga. Maksudnya m/n adalah bilangan real untuk bilangan bulat m,n manapun selama n tak nol. Karena itu, semua bilangan pecahan adalah bilangan real.

Bahasan selanjutnya di Pengantar Analisis Real adalah, bilangan real itu ‘rapat’. Secara teknis, kita bisa mengatakan bahwa diantara dua bilangan real yang berbeda terdapat bilangan real, seperti yang dipelajari di kalkulus. Sebenarnya keadaan ini mengakibatkan bahwa tidak semua bilangan real adalah pecahan, maksudnya ada bilangan real yang tidak dihasilkan dari pembagian dua buah bilangan bulat. Sayangnya, pertanyaan awal kita (mengapa 1 + 1 = 2 ?) sudah terjawab saat kita membahas himpunan bilangan positif tadi. Untuk itu, penulis mengakhiri artikel ini sampai di sini.

Sifat-sifat lapangan :
1. Terdapat operasi penjumlahan (+), yaitu a + b adalah bilangan real untuk bilangan real a,b manapun.
2. Terdapat operasi perkalian (.), yaitu a.b adalah bilangan real untuk bilangan real a,b manapun.
3. Penjumlahan itu komutatif, yaitu a + b = b + a.
4. Penjumlahan itu asosiatif, yaitu a + (b + c) = (a + b) + c.
5. Terdapat bilangan real 0, di mana a + 0 = a untuk bilangan real a manapun.
6. Untuk setiap bilangan real a, terdapat bilangan real -a yang memenuhi a + (-a) = 0.
7. Perkalian itu komutatif, yaitu a.b = b.a.
8. Perkalian itu asosiatif, yaktu a.(b.c) = (a.b).c.
9. Terdapat bilangan real 1, di mana 1.a = a.
10. Sifat distributif perkalian tehadap penjumlahan, yaitu a.(b + c) = a.b + a.c.
11. Untuk setiap bilangan real a yang tak nol, terdapat bilangan real 1/a yang memenuhi a.(1/a) = 1.

Sumber: http://e-kfupm.com/blog/post-12/